Temel Kavramlar

TEMEL KAVRAMLAR 

SAYI:

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Not: Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir.

SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları: {1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. şeklinde gösterilir.

Pozitif Doğal Sayılar:{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir. şeklinde gösterilir.

Not: Sayma sayıları kümesindeki her elemana pozitif doğal sayı da denir.

3. Tam Sayılar: {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her birelemanına tam sayı denir. Şeklinde gösterilir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z^- şeklinde, pozitif tam sayılar kümesi : Z⁺  şeklinde gösterilir ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre, Z= Z^- U Z⁺ U {0} dır.

4. Rasyonal Sayılar: a ve b birer tam sayı ve b  ≠ 0 olmak koşuluyla a / b yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

 Şeklinde gösterilir.

5. İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.Virgülden sonra belli bir kurala göre gitmeyen sayılar irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi Q^’şeklinde gösterilir.

Buna göre, Q^’ kümesinin elemanları a / b şeklinde gösterilemez.

(a, b ∈ Z ve b ≠ 0)

Not: Rasyonel ve aynı zamanda irrasyonel olan bir sayı yoktur.

Örnekler

•   irrasyonel sayıdır

• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  irrasyonel sayıdır

• ${\displaystyle ^{3}{\sqrt {7}}}$  irrasyonel sayıdır

6. Reel (Gerçel) Sayılar: Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi  sembolüyle gösterilir.

Tek ve Çift Tam Sayılar

Çift Tam Sayı: Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından herhangi biri olan sayılara çift tam sayı denir. “n” tam sayı olmak üzere çift tam sayıları “2n” ile gösterebiliriz. 

Çift tam sayılar kümesi{………,-4,-2, 0, 2, 4,……….., 2n, …….. } şeklinde gösterilir.

Tek Tam Sayı: Birler basamağında 1, 3, 5, 7 rakamlarından herhangi biri olan sayılara tek tam sayı denir. “n” tam sayı olmak üzere tek tam sayılar “2n-1” ile gösterebiliriz.

Tek tam sayılar kümesi{…………,-5, -3, -1, 1, 3, 5, …….., 2n-1, …….. } şeklinde gösterilir.

Tek ve Çift Tam Sayılar Arasındaki İşlemler

Ç=Çift tam sayı , T=Tek tam sayı olmak üzere

1) İki çift tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.

Ç + Ç = Ç, Ç- Ç = Ç dir.

2) İki tek tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.

T + T = Ç, T- T = Ç dir.

3) Bir çift tam sayı ile bir tek tam sayının toplamı ve farkı daima tek tam sayıdır.

T + Ç = T, T- Ç= T dir.

4) İki veya daha fazla tam sayıdan en az biri çift tam sayı ise çarpımları daima çift tam sayıdır.

Ç . Ç = Ç

T . Ç = Ç dir.

5) İki veya daha fazla tek tam sayının çarpımı daima tek tam sayıdır.

T . T = T dir.

6) Tek tam sayıların veya çift tam sayıların bölümü için kesin yargılarda bulunulamaz.

• Tek veya çift olma, tam sayılar için geçerlidir.
• Rasyonel sayılara tek veya çift sayı denemez.

7) Çift tam sayıların bütün pozitif tam sayı kuvvetleri çift tam sayıdır.

n Є Z+ olmak üzere Ç+= Ç dir.

Not: Çift sayıların kuvveti pozitif tam sayı olmalıdır. Çift sayıların kuvveti sıfır veya negatif olursa ifade çift sayı belirtmez.

Pozitif ve Negatif Tam Sayılar

• Sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. x negatif sayı ise “x < 0” şeklinde gösterilir.
• Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar denir. x pozitif sayı ise “x > 0” şeklinde gösterilir.
• Sıfır pozitif veya negatif sayı değildir.

Pozitif Ve Negatif Sayılar Arasındaki İşlemler

1) Pozitif sayıların toplamı daima pozitiftir.

2) Negatif sayıların toplamı daima negatiftir.

3) Zıt işaretli sayıların toplamı için kesin bir yargıda bulunulamaz. Sonuç, sayısal değerce büyük olanın işaretini alır.

4) Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima pozitiftir.

5) Zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima negatiftir.

6) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

n bir tam sayı x pozitif sayı olmak üzere daima pozitiftir.

Not: Negatif sayıların çift kuvvetleri alınırken kuvvetin parantezin içinde veya dışında olmasına göre sonuç değişir.

Ardışık Sayılar

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir.

1. Ardışık Tam sayılar: Aralarında bir fark olan ve art arda gelen tam sayılara ardışık tam sayılar denir. n tam sayı olmak üzere n, n+1, n+2, n+3, … şeklinde gösterilir.

2. Ardışık Çift Tam sayılar: Aralarında iki fark olan ve art arda gelen çift sayılara ardışık çift tam sayılar denir. n çift tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4,… şeklinde gösterilir.

3. Ardışık Tek Tam sayılar: Aralarında iki fark olan ve art arda gelen tek sayılara ardışık tek tam sayılar denir. n tek tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4, n+6,… şeklinde gösterilir.

Not: Bir ardışık sayı dizisinde terimlerin toplamı ve terim sayısı biliniyor ise ortanca terim aşağıda verilen formül ile bulunabilir.

Dikkat: Ardışık sayı dizisinde çift sayıda terim varsa (4 tane,6 tane,8 tane,12 tane… gibi) ortanca terim olmaz. Fakat ortanca terim varmış gibi düşünülerek işlem yapılır. Yazılacak ardışık sayılar bulunan değerden büyük ve küçük olacak biçimde eşit şekilde yazılır.

Not: Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı bulunurken;

Sonlu Ardışık Sayıların Toplamı

Sonlu ardışık sayıların toplamı aşağıda verilen formül ile bulunabilir.

Asal Sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … şeklinde sıralanır.

Dikkat:

• En küçük asal sayı 2 dir.
• 1 asal sayı değildir.
• Negatif sayılar asal sayı değildir.
• 2 dışında çift olup aynı zamanda asal olan başka bir sayı yoktur.

Aralarında Asal Sayılar

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla sayıya aralarında asal sayı denir.

Not:

• Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.
• 1 bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.